Fortran - 円周率計算（Arctan 系公式）
Updated:
これまで、円周率を Arctan 系の公式で多桁計算する C++, Ruby アルゴリズムを紹介しました。
（上記のリンクの記事より以前にも同様な記事を紹介していますが、改良前のもので若干計算効率が悪いです）
今回は、科学技術計算用プログラミング言語 Fortran95 で同じアルゴリズムを実装してみました。
Arctan 系公式による計算アルゴリズム等については、上記リンクの過去記事を参照してください。
0. 前提条件
- Linux Mint 14 Nadia (64bit) での作業を想定。
- GNU Fortran (Ubuntu/Linaro 4.7.2-2ubuntu1) 4.7.2 を使用。
1. Fortran ソース作成
File: calc_pi_arctan.f95
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! 円周率計算 by Arctan 系公式
! ( 各項の Arctan を個別に計算後に加減算する方法 )
!
! 1: Machin
! 2: Klingenstierna
! 3: Euler
! 4: Euler(2)
! 5: Gauss
! 6: Stormer
! 7: Stormer(2)
! 8: Takano
!
! コンパイル方法：
! $ f95 calc_pi_arctan.f95 -o calc_pi_arctan
!***********************************************************
!
!***********************************************************
! 定数モジュール
!***********************************************************
module constants
implicit none
! 公式名
character(len=14), parameter :: FORMULA(8) = (/ &
'Machin ', 'Klingenstierna', 'Euler ', 'Euler2 ', &
'Gauss ', 'Stormer ', 'Stormer2 ', 'Takano ' /)
! 公式の項数
integer, parameter :: KOSU(8) = (/ 2, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 4 /)
! 公式内係数
integer, parameter :: KEISU(12, 8) = reshape(source = (/ &
16, 1, 5, -4, 1, 239, 0, 0, 0, 0, 0, 0, & ! 1: Machin
32, 1, 10, -4, 1, 239, -16, 1, 515, 0, 0, 0, & ! 2: Klingenstierna
20, 1, 7, 8, 3, 79, 0, 0, 0, 0, 0, 0, & ! 3: Euler
16, 1, 5, -4, 1, 70, 4, 1, 99, 0, 0, 0, & ! 4: Euler(2)
48, 1, 18, 32, 1, 57, -20, 1, 239, 0, 0, 0, & ! 5: Gauss
24, 1, 8, 8, 1, 57, 4, 1, 239, 0, 0, 0, & ! 6: Stormer
176, 1, 57, 28, 1, 239, -48, 1, 682, 96, 1, 12943, & ! 7: Stormer(2)
48, 1, 49, 128, 1, 57, -20, 1, 239, 48, 1, 110443 & ! 8: Takano
/), shape =(/ 12, 8 /))
! 出力ファイル
character(len=*), parameter :: FILE_PRE = 'PI_' ! プリフィックス
character(len=*), parameter :: FILE_EXT = '.txt' ! 拡張子
! 入力メッセージ
character(len=*), parameter :: STR_INF_1 = "1:Machin, 2:Klingenstierna, 3:Euler, 4:Euler(2),"
character(len=*), parameter :: STR_INF_2 = "5:Gauss, 6:Stormer, 7:Stormer(2), 8:Takano : "
character(len=*), parameter :: STR_INF_3 = "Please input number of Pi Decimal-Digits : "
! 出力文字列 ( コンソール、テキストファイル共通 )
character(len=*), parameter :: STR_TITLE = "** Pi Computation by Arctan method **"
character(len=*), parameter :: STR_FORMULA = " Formula = "
character(len=*), parameter :: STR_DIGITS = " Digits = "
character(len=*), parameter :: STR_TIME = " Time(s) = "
! 多桁計算
integer, parameter :: MAX_DIGITS = 100000000 ! １つの int で８桁扱う
end module constants
!***********************************************************
! 計算モジュール
!***********************************************************
module calc
use constants
implicit none
private ! モジュール外非公開
public :: calc_pi ! calc_pi のみモジュール外公開
integer :: ary_size ! 配列サイズ
contains
!********************
! 円周率計算
!********************
subroutine calc_pi(f, n)
integer, intent(in) :: f, n ! 公式番号、計算桁数
integer :: nn(KOSU(f)) ! 計算項数
! 計算用配列 ( サイズは後に再設定 )
! ( 各項の(2k-1)部分を除いた部分、各項の(2k-1)部分含む部分、各項の総和、総和 )
integer, allocatable :: a(:,:), q(:,:), sk(:,:), s(:)
integer :: i, k ! ループインデックス
integer t1, t2, t_rate, t_max ! 時間計測
real :: tt ! 総時間
! ==== 計算開始時刻
call system_clock(t1)
! ==== 初期設定
ary_size = (n / 8) + 1 ! 配列サイズ
do i = 1, KOSU(f) ! 計算項数
nn(i) = (n / (log10(real(KEISU((i - 1) * 3 + 3, f))) - &
log10(real(KEISU((i - 1) * 3 + 2, f)))) + 1) / 2 + 1
end do
! ==== 配列再宣言・初期化
allocate(a( ary_size + 2, KOSU(f))) ! 各項の(2k-1)部分を除いた部分
allocate(q( ary_size + 2, KOSU(f))) ! 各項の(2k-1)部分含む部分
allocate(sk(ary_size + 2, KOSU(f))) ! 各項の総和
allocate(s( ary_size + 2)) ! 総和
a = 0; q = 0; sk = 0; s = 0
! ==== 計算初期値
do i = 1, KOSU(f)
if (KEISU((i - 1) * 3 + 1, f) >= 0) then
a(1, i) = KEISU((i - 1) * 3 + 1, f) * KEISU((i - 1) * 3 + 3, f)
else
a(1, i) = -(KEISU((i - 1) * 3 + 1, f) * KEISU((i - 1) * 3 + 3, f))
end if
! 分子が 1 で無ければ、さらに分子の値で除算しておく
if (KEISU((i - 1) * 3 + 2, f) /= 1) then
call long_div(a(:, i), KEISU((i - 1) * 3 + 2, f), a(:, i))
end if
end do
! ==== 計算
do i = 1, KOSU(f)
do k = 1, nn(i)
! 各項の分数の部分
call long_div(a(:, i), KEISU((i - 1) * 3 + 3, f), a(:, i))
call long_div(a(:, i), KEISU((i - 1) * 3 + 3, f), a(:, i))
! 分子が 1 でない時
if (KEISU((i - 1) * 3 + 2, f) /= 1) then
call long_mul(a(:, i), KEISU((i - 1) * 3 + 2, f), a(:, i))
call long_mul(a(:, i), KEISU((i - 1) * 3 + 2, f), a(:, i))
end if
! 各項の 1 / (2 * k - 1) の部分
call long_div(a(:, i), 2 * k - 1, q(:, i));
! 各項の総和に加減算
if (mod(k, 2) /= 0) then
call long_add(sk(:, i), q(:, i), sk(:, i))
else
call long_sub(sk(:, i), q(:, i), sk(:, i))
end if
end do
end do
! ==== 各項の総和の加減算
do i = 1, KOSU(f)
if (KEISU((i - 1) * 3 + 1, f) >= 0) then
call long_add(s, sk(:, i), s)
else
call long_sub(s, sk(:, i), s)
end if
end do
! ==== 計算終了時刻
call system_clock(t2, t_rate, t_max)
! ==== 計算時間
if ( t2 < t1 ) then
tt = (t_max - t1 + t2) / dble(t_rate)
else
tt = (t2 - t1) / dble(t_rate)
endif
! ==== 結果出力
call display(f, n, tt, s);
end subroutine calc_pi
!********************
! ロング + ロング
!********************
subroutine long_add(a, b, q)
integer, intent(in) :: a(:) ! 引数(被加数配列)
integer, intent(in) :: b(:) ! 引数(加数配列)
integer :: q(:) ! 引数(計算後配列)(参照渡し)
integer :: i ! ループインデックス
integer :: cr ! 繰り上がり
cr = 0
do i = ary_size + 2, 1, -1
q(i) = a(i) + b(i) + cr
if (a(i) < MAX_DIGITS) then
cr = 0
else
q(i) = a(i) - MAX_DIGITS
cr = 1
end if
end do
end subroutine long_add
!********************
! ロング - ロング
!********************
subroutine long_sub(a, b, q)
integer, intent(in) :: a(:) ! 引数(被減数配列)
integer, intent(in) :: b(:) ! 引数(減数配列)
integer :: q(:) ! 引数(計算後配列)(参照渡し)
integer :: i ! ループインデックス
integer :: br ! 借り
do i = ary_size + 2, 1, -1
q(i) = a(i) - b(i) - br
if (a(i) >= 0) then
br = 0
else
q(i) = a(i) + MAX_DIGITS
br = 1
end if
end do
end subroutine long_sub
!********************
! ロング * ショート
!********************
subroutine long_mul(a, b, q)
integer, intent(in) :: a(:) ! 引数(被乗数配列)
integer, intent(in) :: b ! 引数(乗数)
integer :: q(:) ! 引数(計算後配列)(参照渡し)
integer :: i ! ループインデックス
integer :: cr ! 繰り上がり
integer :: w ! 被乗数ワーク
cr = 0
do i = ary_size + 2, 1, -1
w = a(i)
q(i) = mod(w * b + cr, MAX_DIGITS)
cr = (w * b + cr) / MAX_DIGITS
end do
end subroutine long_mul
!********************
! ロング / ショート
!********************
subroutine long_div(a, b, q)
integer, intent(in) :: a(:) ! 引数(被除数配列)
integer, intent(in) :: b ! 引数(除数)
integer :: q(:) ! 引数(計算後)(参照渡し)
integer :: i ! ループインデックス
integer(8) :: r ! 剰余ワーク
integer :: w ! 被除数ワーク
r = 0
do i = 1, ary_size + 2
w = a(i)
q(i) = (w + r) / b
r = mod(w + r, b) * MAX_DIGITS
end do
end subroutine long_div
!********************
! 結果出力
!********************
subroutine display(f, n, tt, s)
integer, intent(in) :: f ! 公式番号
integer, intent(in) :: n ! 計算桁数
real, intent(in) :: tt ! 総時間
integer, intent(in) :: s(:) ! 計算結果配列
character(len=14) :: formula_name ! 公式名
character(len=21) :: out_file ! 出力ファイル名
integer :: i ! ループインデックス
! ==== 公式名・出力ファイル名設定
formula_name = FORMULA(f)
out_file = FILE_PRE // trim(FORMULA(f)) // FILE_EXT
! ==== コンソール出力
print '(/a)', STR_TITLE
print '(a,a)', STR_FORMULA, trim(formula_name)
print '(a,i10)', STR_DIGITS, n
print '(a,f10.3)', STR_TIME, tt
! ==== ファイル出力
open (10, file=out_file, status='replace')
write (10, '(a)') STR_TITLE
write (10, '(a,a)') STR_FORMULA, trim(formula_name)
write (10, '(a,i10)') STR_DIGITS, n
write (10, '(a,f10.3)') STR_TIME, tt
write (10, *)
write (10, '(i11,".")') s(1)
do i = 2, ary_size
if (mod(i, 10) == 2) then
write (10, '(i8.8,":")', advance='no') (i - 2) * 8 + 1
end if
write (10, '(i9.8)', advance='no') s(i)
if (mod(i, 10) == 1) then
write (10, *)
end if
end do
close (10)
end subroutine display
end module calc
!***********************************************************
! 主処理
!***********************************************************
program calc_pi_arctan
use constants ! 定数モジュール
use calc ! 計算モジュール
implicit none ! 暗黙の型指定を使用しない
integer :: f, n ! 公式番号、計算桁数
! ==== 公式番号入力
write (*, '(a)') STR_INF_1
write (*, '(a)', advance='no') STR_INF_2
read *, f
! ==== 計算桁数入力
write (*, '(a)', advance='no') STR_INF_3
read *, n
! ==== 円周率計算
call calc_pi(f, n)
end program calc_pi_arctan
2. Fortran ソースコンパイル
$ f95 calc_pi_arctan.f95 -o calc_pi_arctan
3. 実行
以下では、「マチンの公式」を使用して小数点以下 10,000 桁を計算している。
$ ./calc_pi_arctan
1:Machin, 2:Klingenstierna, 3:Euler, 4:Euler(2),
5:Gauss, 6:Stormer, 7:Stormer(2), 8:Takano : 1
Please input number of Pi Decimal-Digits : 10000
** Pi Computation by Arctan method **
Formula = Machin
Digits = 10000
Time(s) = 1.084
“PI_Machin.txt” というファイルが作成されているはずである。
File: PI_Machin.txt
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** Pi Computation by Arctan method **
Formula = Machin
Digits = 10000
Time(s) = 1.084
3.
00000001: 14159265 35897932 38462643 38327950 28841971 69399375 10582097 49445923 07816406 28620899
00000081: 86280348 25342117 06798214 80865132 82306647 09384460 95505822 31725359 40812848 11174502
00000161: 84102701 93852110 55596446 22948954 93038196 44288109 75665933 44612847 56482337 86783165
00000241: 27120190 91456485 66923460 34861045 43266482 13393607 26024914 12737245 87006606 31558817
00000321: 48815209 20962829 25409171 53643678 92590360 01133053 05488204 66521384 14695194 15116094
00000401: 33057270 36575959 19530921 86117381 93261179 31051185 48074462 37996274 95673518 85752724
00000481: 89122793 81830119 49129833 67336244 06566430 86021394 94639522 47371907 02179860 94370277
00000561: 05392171 76293176 75238467 48184676 69405132 00056812 71452635 60827785 77134275 77896091
00000641: 73637178 72146844 09012249 53430146 54958537 10507922 79689258 92354201 99561121 29021960
00000721: 86403441 81598136 29774771 30996051 87072113 49999998 37297804 99510597 31732816 09631859
00000801: 50244594 55346908 30264252 23082533 44685035 26193118 81710100 03137838 75288658 75332083
00000881: 81420617 17766914 73035982 53490428 75546873 11595628 63882353 78759375 19577818 57780532
00000961: 17122680 66130019 27876611 19590921 64201989 38095257 20106548 58632788 65936153 38182796
:
===< 途中省略 >===
:
00009121: 37800297 41207665 14793942 59029896 95946995 56576121 86561967 33786236 25612521 63208628
00009201: 69222103 27488921 86543648 02296780 70576561 51446320 46927906 82120738 83778142 33562823
00009281: 60896320 80682224 68012248 26117718 58963814 09183903 67367222 08883215 13755600 37279839
00009361: 40041529 70028783 07667094 44745601 34556417 25437090 69793961 22571429 89467154 35784687
00009441: 88614445 81231459 35719849 22528471 60504922 12424701 41214780 57345510 50080190 86996033
00009521: 02763478 70810817 54501193 07141223 39086639 38339529 42578690 50764310 06383519 83438934
00009601: 15961318 54347546 49556978 10382930 97164651 43840700 70736041 12373599 84345225 16105070
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全ての公式による計算結果が一致することを確認する。
4. 検証
今回のプログラムで利用可能にしている８つの公式を使用して、どれがどの程度高速に計算できているのかを検証してみた。
想像していたとおり、C++ 版と同等の計算スピード（高速）だった。
以下は、C++ 版でのテスト結果と Fortran 版でのテスト結果。
【C++ 版】
【Fortran 版】
5. 参考サイト
ちなみに、結果が何万桁以上になる場合は、多桁（多倍長）乗算に上記の方法ではなく「Karatsuba法」や「Toom-Cook法」や「FFT（高速フーリエ変換）」を使うのが一般的なようです。
計算アルゴリズム・ロジックは複雑なものではないので、この部分を改良しての高速化はそれほど望めないと考えています。
やはり、多桁計算アルゴリズム・ロジック部分の改良が必要であると考えている次第です。
以上。
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