mk-mode BLOG

このブログは自作の自宅サーバに構築した Debian GNU/Linux で運用しています。
PC・サーバ構築等の話題を中心に公開しております。(クローンサイト: GitHub Pages

ブログ開設日2009-01-05
サーバ連続稼働時間
Reading...
Page View 合計
Reading...
今日
Reading...
昨日
Reading...

複素フーリエ級数展開!

[ 数学 ] [ ]

こんばんは。

先日、実形式の「フーリエ級数展開」の C++, Ruby 実装を紹介しました。

今回は、複素形式の「フーリエ級数展開」についてです。
複素数を使用してより簡素な計算式にしようというものであって、展開結果が複素数になるというものではありません。

また、今回は C++ や Ruby への実装はしません。実装しようと思ったら結局「実形式のフーリエ級数展開」になるからです。

以下、「複素フーリエ級数展開」についてです。(数式が多いので、で別途作成した文書を切り貼りしている)

1. 概要

今までの「フーリエ級数展開」は「実形式(実フーリエ級数展開)」と呼ばれものであったが、三角関数を使用せず「複素数の指数関数」を使用する形式を「複素形式」の「フーリエ級数展開」または「複素フーリエ級数展開」という。

2. 複素フーリエ級数展開の導出

以下に、「実フーリエ級数展開」の定義から「複素フーリエ級数展開」を導出する手順について記述する。

EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_01 EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_02 EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_03 EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_04 EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_05

上記の (1.1), (1.2), (1.3) が「(実)フーリエ級数展開」の定義、(1.4), (1.5) が「複素フーリエ級数展開」の定義である。

3. 例題

例題として、実際に周期関数を複素フーリエ級数展開してみる。

EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_06

t の範囲は - に限定している。

EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_07 EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_08

前回の実フーリエ級数展開とは異なる(三角関数を使用せず、複素数の指数関数を使用した)結果となった。

4. 実形式と複素形式のフーリエ級数展開の整合性確認

EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_09 EXPAND_COMPLEX_FOURIER_SERIES_10


「(実)フーリエ級数展開」、「複素フーリエ級数展開」とも、電気工学、音響学、振動、光学等でよく使用する重要な概念です。応用範囲は広いので他にも利用できるかと思います。

以上。

Comments