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このブログは自作の自宅サーバに構築した Debian GNU/Linux で運用しています。
PC・サーバ構築等の話題を中心に公開しております。(クローンサイト: GitHub Pages

ブログ開設日2009-01-05
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Ruby - 円周率計算(by Arctan 系公式(その2))

[ プログラミング, 数学 ] [ Ruby, 円周率 ]

こんばんは。

前回、円周率を Arctan 系の公式で多桁計算する C++ アルゴリズムで、各項の収束速度の速い項を無駄に計算していたのを改良したアルゴリズムを紹介しました。

今回は、Ruby で同じアルゴリズムを実現してみました。
アルゴリズム等については、上記リンクの記事を参照してください。

0. 前提条件

  • Linux Mint 14 Nadia (64bit) での作業を想定。
  • Ruby 2.0.0-p0 を使用。

1. Ruby スクリプト作成

今回作成した Ruby ソースは以下の通りです。

calc_pi_arctan_2.rb
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#*********************************************
# 円周率計算 by Arctan 系の公式
# ( 各項の Arctan を個別に計算後に加減算する方法 )
#
#    1: Machin
#    2: Klingenstierna
#    3: Eular
#    4: Eular(2)
#    5: Gauss
#    6: Stormer
#    7: Stormer(2)
#    8: Takano
#*********************************************
#
# 公式
FORMULA = [
  "Machin", "Klingenstierna", "Eular",    "Eular2",
  "Gauss",  "Stormer",        "Stormer2", "Takano"
]                                                         # 公式名
KK = [                                                    # 公式内係数
  [ 16, 1,  5,  -4, 1, 239                            ],  #   1: Machin
  [ 32, 1, 10,  -4, 1, 239, -16, 1, 515               ],  #   2: Klingenstierna
  [ 20, 1,  7,   8, 3,  79                            ],  #   3: Eular
  [ 16, 1,  5,  -4, 1,  70,   4, 1,  99               ],  #   4: Eular(2)
  [ 48, 1, 18,  32, 1,  57, -20, 1, 239               ],  #   5: Gauss
  [ 24, 1,  8,   8, 1,  57,   4, 1, 239               ],  #   6: Stormer
  [176, 1, 57,  28, 1, 239, -48, 1, 682, 96, 1,  12943],  #   7: Stormer(2)
  [ 48, 1, 49, 128, 1,  57, -20, 1, 239, 48, 1, 110443]   #   8: Takano
]
# 保存ファイル名
FILE_PRE = "PI_"   # プリフィックス
FILE_EXT = ".txt"  # 拡張子
# 出力文字列 ( コンソール、テキストファイル共通 )
STR_TITLE   = "** Pi Computation by Arctan method **"
STR_FORMULA = "   Formula = [ %s ]\n"
STR_DIGITS  = "   Digits  = %d\n"
STR_TIME    = "   Time    = %f seconds\n"
# 多桁計算
MAX_DIGITS = 100000000  # 1つの int で8桁扱う

class CalcPiArctan
  def initialize(x, y)
    # 結果出力ファイル名生成
    @fname = FILE_PRE + FORMULA[x - 1] + FILE_EXT
    puts
    puts "[ Output file : #{@fname} ]"
    puts

    @formula = FORMULA[x-1]             # 公式名取得
    @ks = KK[x-1].size / 3              # 計算対象公式の項数
    @kk = KK[x-1]                       # 計算対象公式の係数
    @l  = y                             # 計算桁数
    @l1 = (@l / 8) + 1                  # 配列サイズ
    @n = Array.new
    0.upto(@ks - 1) do |i|              # 計算項数
      n  = @l / (Math::log10(@kk[i * 3 + 2]) - Math::log10(@kk[i * 3 + 1])) + 1
      @n << (n / 2).truncate + 1
    end
  end

  # 計算・結果出力
  def calc
    # ==== 計算開始時刻
    t0 = Time.now

    # ==== 配列宣言・初期化
    a  = Array.new(@ks, nil)    # 各項の(2k-1)部分を除いた部分
    a.each_index {|i| a[i] = Array.new(@l1 + 2, 0)}
    q  = Array.new(@ks, nil)    # 各項の(2k-1)部分を含む部分
    q.each_index {|i| q[i] = Array.new(@l1 + 2, 0)}
    sk = Array.new(@ks, nil)    # 各項の総和
    sk.each_index {|i| sk[i] = Array.new(@l1 + 2, 0)}
    s  = Array.new(@l1 + 2, 0)  # 総和

    # ==== 計算初期値
    0.upto(@ks - 1) do |i|
      if @kk[i * 3] >= 0
        a[i][0] = @kk[i * 3] * @kk[i * 3 + 2]
      else
        a[i][0] = @kk[i * 3] * @kk[i * 3 + 2] * -1
      end
      # 分子が 1 で無ければ、さらに分子の値で除算しておく
      a[i] = long_div(a[i], @kk[i * 3 + 1]) unless @kk[i * 3 + 1] == 1
    end

    # ==== 計算
    0.upto(@ks - 1) do |i|
      1.upto(@n[i]) do |k|
        # 各項の分数の部分
        a[i] = long_div(a[i], @kk[i * 3 + 2])
        a[i] = long_div(a[i], @kk[i * 3 + 2])
        unless @kk[i * 3 + 1] == 1  # 分子が 1 でない時
          a[i] = long_mul(a[i], @kk[i * 3 + 1])
          a[i] = long_mul(a[i], @kk[i * 3 + 1])
        end

        # 各項の 1 / (2 * k - 1) の部分
        q[i] = long_div(a[i], 2 * k - 1)

        # 各項の総和に加減算
        sk[i] = (k % 2 == 0 ? long_sub(sk[i], q[i]) : long_add(sk[i], q[i]))
      end
    end

    # 各項の総和の加減算
    0.upto(@ks - 1) do |i|
      s = (@kk[i * 3] >= 0 ? long_add(s, sk[i]) : long_sub(s, sk[i]))
    end

    # ==== 計算終了時刻
    t1 = Time.now

    # ==== 計算時間
    tt = t1 - t0

    # ==== 結果出力
    display(tt, s)
  end

  # ロング + ロング
  def long_add(a, b)
    z = Array.new(@l1 + 2, 0)

    cr = 0
    (@l1 + 1).downto(0) do |i|
      z[i] = a[i] + b[i] + cr
      if z[i] < MAX_DIGITS
        cr = 0
      else
        z[i] -= MAX_DIGITS
        cr = 1
      end
    end

    return z
  end

  # ロング - ロング
  def long_sub(a, b)
    z = Array.new(@l1 + 2, 0)

    br = 0
    (@l1 + 1).downto(0) do |i|
      z[i] = a[i] - b[i] - br
      if z[i] >= 0
        br = 0
      else
        z[i] += MAX_DIGITS
        br = 1
      end
    end

    return z
  end

  # ロング * ショート
  def long_mul(a, b)
    z = Array.new(@l1 + 2, 0)

    cr = 0
    (@l1 + 1).downto(0) do |i|
      w = a[i]
      z[i] = (w * b + cr) % MAX_DIGITS
      cr = (w * b + cr) / MAX_DIGITS
    end

    return z
  end

  # ロング / ショート
  def long_div(a, b)
    z = Array.new(@l1 + 2, 0)

    r = 0
    0.upto(@l1 + 1) do |i|
      w = a[i]
      z[i] = (w + r) / b
      r = ((w + r) % b) * MAX_DIGITS
    end

    return z
  end

  # 結果出力
  def display(tt, s)
    puts STR_TITLE
    printf(STR_FORMULA, @formula)
    printf(STR_DIGITS, @l)
    printf(STR_TIME, tt)

    # ファイル出力
    out_file = File.open(@fname, "w")
    out_file.puts STR_TITLE
    out_file.printf( STR_FORMULA, @formula)
    out_file.printf( STR_DIGITS, @l)
    out_file.printf( STR_TIME, tt)
    out_file.printf( "\n          %d.\n", s[0]);
    1.upto(@l1 - 1) do |i|
      out_file.printf("%08d:", (i - 1) * 8 + 1) if (i % 10 == 1)
      out_file.printf(" %08d", s[i])
      out_file.printf("\n") if (i % 10 == 0)
    end
  end
end

# メイン処理
begin
  # ==== 使用公式番号入力
  print "1:Machin, 2:Klingenstierna, 3:Eular, 4:Eular(2)\n"
  print "5:Gauss, 6:Stormer, 7:Stormer(2), 8:Takano : "
  f = gets.to_i
  f = 1 if f < 1 || f > 8  # 範囲外なら 1:Machin と判断

  # ==== 計算桁数入力
  print "Please input number of Pi Decimal-Digits : "
  n = gets.to_i

  # 計算クラスインスタンス化
  obj_calc = CalcPiArctan.new(f, n)

  # 円周率計算
  obj_calc.calc
rescue => e
  # エラーメッセージ
  puts "[例外発生] #{e}"
end

ちなみに、Gist でもスクリプトを公開している。

2. 実行

実際に実行して検証してみる。
以下では「高野喜久雄の公式」による小数点以下 10,000 桁までの計算を行なっている。

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$ ruby calc_pi_arctan_2.rb
1:Machin, 2:Klingenstierna, 3:Eular, 4:Eular(2)
5:Gauss, 6:Stormer, 7:Stormer(2), 8:Takano : 8
Please input number of Pi Decimal-Digits : 10000

[ Output file : PI_Takano.txt ]

** Pi Computation by Arctan method **
   Formula = [ Takano ]
   Digits  = 10000
   Time    = 8.741288 seconds
PI_Takano.txt
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** Pi Computation by Arctan method **
   Formula = [ Takano ]
   Digits  = 10000
   Time    = 8.741288 seconds

          3.
00000001: 14159265 35897932 38462643 38327950 28841971 69399375 10582097 49445923 07816406 28620899
00000081: 86280348 25342117 06798214 80865132 82306647 09384460 95505822 31725359 40812848 11174502
00000161: 84102701 93852110 55596446 22948954 93038196 44288109 75665933 44612847 56482337 86783165
00000241: 27120190 91456485 66923460 34861045 43266482 13393607 26024914 12737245 87006606 31558817
00000321: 48815209 20962829 25409171 53643678 92590360 01133053 05488204 66521384 14695194 15116094
00000401: 33057270 36575959 19530921 86117381 93261179 31051185 48074462 37996274 95673518 85752724
00000481: 89122793 81830119 49129833 67336244 06566430 86021394 94639522 47371907 02179860 94370277
00000561: 05392171 76293176 75238467 48184676 69405132 00056812 71452635 60827785 77134275 77896091
00000641: 73637178 72146844 09012249 53430146 54958537 10507922 79689258 92354201 99561121 29021960
00000721: 86403441 81598136 29774771 30996051 87072113 49999998 37297804 99510597 31732816 09631859
00000801: 50244594 55346908 30264252 23082533 44685035 26193118 81710100 03137838 75288658 75332083
00000881: 81420617 17766914 73035982 53490428 75546873 11595628 63882353 78759375 19577818 57780532
00000961: 17122680 66130019 27876611 19590921 64201989 38095257 20106548 58632788 65936153 38182796
        :
===< 途中省略 >===
        :
00009121: 37800297 41207665 14793942 59029896 95946995 56576121 86561967 33786236 25612521 63208628
00009201: 69222103 27488921 86543648 02296780 70576561 51446320 46927906 82120738 83778142 33562823
00009281: 60896320 80682224 68012248 26117718 58963814 09183903 67367222 08883215 13755600 37279839
00009361: 40041529 70028783 07667094 44745601 34556417 25437090 69793961 22571429 89467154 35784687
00009441: 88614445 81231459 35719849 22528471 60504922 12424701 41214780 57345510 50080190 86996033
00009521: 02763478 70810817 54501193 07141223 39086639 38339529 42578690 50764310 06383519 83438934
00009601: 15961318 54347546 49556978 10382930 97164651 43840700 70736041 12373599 84345225 16105070
00009681: 27056235 26601276 48483084 07611830 13052793 20542746 28654036 03674532 86510570 65874882
00009761: 25698157 93678976 69742205 75059683 44086973 50201410 20672358 50200724 52256326 51341055
00009841: 92401902 74216248 43914035 99895353 94590944 07046912 09140938 70012645 60016237 42880210
00009921: 92764579 31065792 29552498 87275846 10126483 69998922 56959688 15920560 01016552 56375678

全ての公式による計算結果が一致することを確認する。

3. 検証

今回のプログラムで利用可能にしている8つの公式を使用して、どれがどの程度高速に計算できているのかを検証してみた。
詳細は紹介しないが、やはり今まで使用していたアルゴリズムと比較して高速化できている。(処理時間が 80% 位になった)

4. 参考サイト


ちなみに、結果が何万桁以上になる場合は、多桁(多倍長)乗算に上記の方法ではなく「Karatsuba法」や「Toom-Cook法」や「FFT(高速フーリエ変換)」を使うのが一般的なようです。
これも踏まえて、まだまだ高速化が可能であろうということは認識できている次第です。

以上。

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